Функция, получающая бесконечно малые приращения при бесконечно малых приращениях аргумента. Однозначная функция f (x) называется непрерывной при значении аргумента x₀, если для всех значений аргумента х, отличающихся достаточно мало от x₀, значения функции f (x) отличаются сколь угодно мало от её значения f (x₀). Точнее, функция f (х) называется непрерывной при значении аргумента x₀ (или, как говорят, в точке x₀), если каково бы ни было ε > 0, можно указать такое δ > 0, что при |х - х₀| < δ будет выполняться неравенство |f (x) - f (x₀)| < ε. Это определение равносильно следующему: функция f (x) непрерывна в точке x₀, если при х, стремящемся к x₀, значение функции f (x) стремится к пределу f (x₀). Если все условия, указанные в определении Н. ф., выполняются только при х ≥ х₀ или только при х ≤ х₀, то функция называется, соответственно, непрерывной справа или слева в точке x₀. Функция f (x) называется непрерывной н а отрезке [а, b], если она непрерывна в каждой точке х при а < х < b и, кроме того, в точке а непрерывна справа, а в точке b - слева.

Понятию Н. ф. противопоставляется понятие разрывной функции (См. Разрывные функции). Одна и та же функция может быть непрерывной для одних и разрывной для других значений аргумента. Так, дробная часть числа х [её принято обозначать через (х)], например

является функцией разрывной при любом целом значении и непрерывной при всех других значениях (рис. 1), причём в целочисленных точках она непрерывна справа.

Простейшими функциями переменного х, непрерывными при всяком значении x, являются многочлены, синус (у = sin x), косинус (у = cos x), показательная функция (у = a^x, где а - положительное число). Сумма, разность и произведение Н. ф. снова дают Н. ф. Частное двух Н. ф. также есть Н. ф., за исключением тех значений х, для которых знаменатель обращается в нуль (так как в таких точках рассматриваемое частное не определено). Например,

есть Н. ф. для всех значений х, кроме нечётных кратных π/2, при которых cosх обращается в нуль.

Н. ф. обладают многими важными свойствами, которыми и объясняется огромное значение этих функций в математике и её приложениях. Одно из важнейших свойств выражается следующей теоремой: для всякой функции, непрерывной на отрезке [а, b] можно найти многочлен, значения которого отличаются на этом отрезке от значений функции менее чем на произвольно малое, наперёд заданное число (теорема о приближении Н. ф. многочленами). Справедлива также и обратная теорема: всякая функция, которую на некотором отрезке можно с произвольной степенью точности заменить многочленом, непрерывна на этом отрезке.

Функция, непрерывная на отрезке, ограничена на нём и достигает на этом отрезке наибольшего и наименьшего значения (см. Наибольшее и наименьшее значения функций (См. Наибольшее и наименьшее значения функции)). Кроме того, она принимает на этом отрезке все значения, лежащие между её наименьшим и наибольшим значениями. Функции, непрерывные на отрезке, обладают свойством равномерной непрерывности (См. Равномерная непрерывность). Всякая функция, непрерывная на некотором отрезке, интегрируема на нём, т. е. является производной другой Н. ф. Однако не всякая Н. ф. сама имеет производную. Геометрически это означает, что график Н. ф. не обязательно обладает в каждой точке определённым направлением (касательной); это может произойти, например, потому, что график имеет угловую точку (рис.2, функция у = |x|), или потому, что он совершает в любой близости точки О бесконечно много колебаний между двумя пересекающимися прямыми (рис. 3, функция

при х ≠ 0 и y = 0 при x = 0).

Существуют Н. ф., не имеющие производной ни в одной точке (первый пример такого рода был найден Б. Больцано). Представление о графике подобной функции даёт рис. 4, где изображены первые этапы построения, состоящего в неограниченно продолжающейся замене средней трети каждого прямолинейного отрезка двузвенными ломаными; соотношения длин подбираются так, чтобы в пределе получить Н. ф.

Функция F (x, у, z,...) нескольких переменных, определённая в некоторой окрестности точки (x₀, y₀, z₀,...), называется непрерывной в этой точке, если для любого ε > 0 можно указать такое δ > О, что при одновременном выполнении неравенств: |x - x₀| < δ, |у - у₀| < δ, |z - z₀| < δ,... выполняется также и неравенство:

IF (x, у, z,...) - F (x₀, y₀, z₀,...)| < ε.

Такая функция будет непрерывной по отношению к каждому аргументу в отдельности (если остальным аргументам приданы определённые числовые значения). Обратное, однако, неверно: функция F (x:, у, z,...), непрерывная по каждому аргументу в отдельности, может и не быть Н. ф. этих аргументов. Простейший пример этого даёт функция F (x, у), равная xy/(x² + y²), если x² + y² ≠ 0, и равная 0 при x = у = 0. Она непрерывна по x при любом фиксированном значении y по y - при любом фиксированном значении х. В частности, она непрерывна по x при у = 0 и по y при x = 0. Если же положить, например, у = х ≠ 0, то значение функции будет оставаться равным x²/(x² + y²) = ¹/₂, т. е. нельзя будет указать такого числа δ > 0, чтобы при одновременном выполнении неравенств |х| < δ, |у| < δ выполнялось неравенство |ху/(х² + y²)| < ε. На Н. ф. нескольких переменных распространяются все основные теоремы, относящиеся к Н. ф. одного переменного.

Лит.: Хинчин А. Я., Краткий курс математического анализа, М., 1953; Кудрявцев Л. Д., Математический анализ, т. 1, М., 1970.

Рис. 1 к ст. Непрерывная функция.

Рис. 2 к ст. Непрерывная функция.

Рис. 3 к ст. Непрерывная функция.

Рис. 4 к ст. Непрерывная функция.

значение аргумента, при котором нарушается непрерывность функции (см. Непрерывная функция). В простейших случаях нарушение непрерывности в некоторой точке а происходит так, что существуют пределы

при стремлении x к а справа и слева, но хотя бы один из этих пределов отличен от f (a). В этом случае а называют Р. т. 1-го рода. Если при этом f (a + 0) = f (a -0), то разрыв называется устранимым, так как функция f (x) становится непрерывной в точке а, если положить f (a) = f (a + 0) = f (a - 0). Например, точка а = 0 является точкой устранимого разрыва для функции f (x) = при х ≠ 0 и f (0) = 0, так как для восстановления непрерывности достаточно положить f (0) = 1. Если же скачок δ = f (a +0) - f (a - 0) функции f (x) в точке а отличен от нуля, то при любом определении значения f (a) точка а остаётся Р. т. Примером такой Р. т. служит точка а = 0 для функции f (x) = arctg (в этом случае в самой точке а функция может оставаться неопределённой). Р. т. 1-го рода называется правильной, если

Если хотя бы один из односторонних пределов не существует, то а называется Р. т. 2-го рода [примеры: точка а = 2 для функции , точка а = 0 для функции ].